Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(－∞，－ )上单调递减，在(－， )上单调递增，在(，＋∞)上单调递减；（2）实数m的取值范围为[1，＋∞).

【解析】试题分析：(Ⅰ)对函数进行求导得，分别解不等式和可得单调区间；(Ⅱ) 令，首先得到，对函数进行二次求导，得到在上单调递减，则，对分为和两种情形，判断和0的关系，得到的单调性，进而得到其与的关系，从而可得结论.

试题解析：(Ⅰ)由已知得，当，即时， 或；当，即时， ，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

(Ⅱ)令， ，

由已知可得，即，下面只要考虑的情况即可．

g′(x)＝(2－x2)ex－1－m，令h(x)＝(2－x2)ex－1－m，则h′(x)＝－(x2＋2x－2)ex－1，

因为x≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′(x)<0，

所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，即g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(1)＝1－m.

①当1－m≤0，即m≥1时，此时g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，满足条件；

②当1－m>0，即－1≤m<1时，此时g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，则当1<x<x0时，g′(x)>0；

当x>x0时，g′(x)<0，所以g(x)在[1，x0]上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，

所以当x∈[1，x0]时，g(x)≥g(1)＝0，此时不满足条件．

综上所述，实数m的取值范围为．