Question

【题目】知函数，，与在交点处的切线相互垂直.

(1)求的解析式；

(2)已知,若函数有两个零点,求的取值范围 .

Answer 1

【答案】(1) 。

(2) 或。

【解析】分析：（1）分别求出与在交点处切线的斜率，从而得到答案；

（2）对求导，分类讨论即可.

详解：(1) ，，

又，，与在交点处的切线相互垂直，

,.又在上, ，

故.

(2)由题知

.

①,即时,令,得;

令,得或，

在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,故存在使

.又，，，

在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,

在区间上有一个零点,共个零点,不符合题意,舍去.

②时,令,得，令,得或，

在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，

又,,有两个零点,符合题意.

③,即时,令,得,

令,得或，

在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，

，在区间上存在一个零点,

若要有两个零点,必有,解得.

④,即时,令,得，令,得或，

在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，

,在区间上存在一个零点，

又

，

∴在区间∴上不存在零点,即只有一个零点,不符合题意.

综上所述, 或.