Question

【题目】如图，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=BC，AD=2AB，点M，N分别在PB，PC上，且MN∥BC．

（1）证明：平面AMN⊥平面PBA；
（2）若M为PB的中点，求二面角M﹣AC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵MN∥BC，BC∥AD，∴MN∥AD，

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AD，

又∵AD⊥AB，PA∩AB=A，

∴AD⊥平面PBA，

∴MN⊥平面PBA，

又∵MN平面AMN，

∴平面AMN⊥平面PBA．

（2）解：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，

不妨设AB=1，则：A（0，0，0），C（1，1，0）， ，

∴ ， ，

设平面AMC的法向量 ，则： ，

令x=1，则y=﹣1，z=﹣1，∴

平面ADC的一个法向量为 ，

∴ ，

∴二面角M﹣AC﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出MN∥AD，PA⊥AD，从而AD⊥平面PBA，进而MN⊥平面PBA，由此能证明平面AMN⊥平面PBA．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角M﹣AC﹣D的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．