Question

【题目】已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1，1]，且|f(x)|的最大值为M.

(1)证明：|1＋b|≤M；

(2)证明：M≥.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】证明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|， M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，

∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，

∴M≥|1＋b|.

(2)依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|.

又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|.

∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|

＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|

≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.

∴M≥.