Question

【题目】已知函数f（x）=（）x.

（Ⅰ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）g（a）=（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）在的情况下，求出的值域，对所给函数进行配方化简，可利用一元二次函数的性质对进行分类讨论，可得函数的最小值；（Ⅱ）假设存在，利用（Ⅰ）中分段函数在的单调性，结合区间与值域，可得关于的等式，解得存在情况．

试题解析：（Ⅰ）∵x∈[﹣1，1]，∴f（x）=（）x∈[，3]，

y=[f（x）]2﹣2af（x）+3=[（）x]2﹣2a（）x+3

=[（）x﹣a]2+3﹣a2. .

由一元二次函数的性质分三种情况：

若a＜，则当时，ymin=g（a）=；

若≤a≤3，则当时，ymin=g（a）=3﹣a2；

若a＞3，则当时，ymin=g（a）=12﹣6a.

∴g（a）=

（Ⅱ）假设存在满足题意的m、n，

∵m＞n＞3，且g（x）=12﹣6x在区间（3，+∞）内是减函数，

又g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，

∴

两式相减，得6（m﹣n）=（m+n）（m﹣n），

∵m＞n＞3，∴m+n=6，但这与“m＞n＞3”矛盾，

∴满足题意的m、n不存在.