Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣， ）．

（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；

（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由角的正弦值可得其余弦值，再用角表示，可由两角差的余弦公式可得角的余值；（Ⅱ）由三角函数的定义可得点的坐标，再利用的正余弦值表示三角形的面积，利用三角函数的性质可得其最值，即为三角形面积的最大值．

试题解析：（Ⅰ）因为，且所以．

所以.

（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，

所以

．

因为所以当时，取等号，

所以△OPQ面积的最大值为．