Question

【题目】双曲线的离心率为2，右焦点到它的一条渐近线的距离为 。

（1）求双曲线的标准方程；

（2）是否存在过点且与双曲线的右支角不同的两点的直线，当点满足时，使得点在直线上的射影点满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在这样的直线满足条件，其方程为或

【解析】试题分析：（1）由点到直线的距离公式可知： ，结合即可求得，进而根据离心率可得，从而求得方程；

（2）（2）假设存在满足条件的直线l，直线l的斜率不存在时，求得N，P，Q坐标，由，此时不满足条件；当斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程，由韦达定理及向量的数量积的坐标表示，即，代入即可求得k的值，求得直线方程．

试题解析：

（1）双曲线焦点在x轴上，设右焦点为(c,0),一条渐近线为bx-ay=0.

由点到直线的距离公式可知： ,由，解得.

由双曲线的离心率为，解得.

所以，双曲线的方程为.

（2）因为，所以是的中点，

假设存在满足条件的直线，

若直线的斜率不存在时，此时点即为，可解得，

所以，所以，此时不满足条件。

若直线的斜率存在时，设斜率为，则的方程为，联立，

得，要使得与双曲线交于右支的不同的两点，

须要，即，可得，

又，所以

又因为在直线上的射影为满足，

所以，

所以，

即，

可得或，又因为，所以，即，

所以存在这样的直线满足条件，其方程为或。