Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，，．设，分别为，中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点，，的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）点是线段中点

【解析】

（1）通过证明，证明平面；

（2）通过和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；

（3）通过证明两个平面内的两条相交直线分别平行，证明平面平面即可.

（1）因为点是中点， 点为的中点，

所以，又因为平面平面，

所以平面；

（2）因为平面平面，平面平面，

又平面，所以平面，所以

又因为，

所以平面；

（3）当点是线段中点时，

过点的平面内的任一条直线都与平面平行，证明如下：

取中点，连.

由（1）可知平面.

因为点是中点，点为的中点，

所以，又因为平面，

平面，所以平面，

又因为，所以平面平面，

所以平面内的任一条直线都与平面平行.