Question

【题目】对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.

(1)已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

(3)若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】(1) 是“局部奇函数”，理由见解析；(2) ；(3)

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式，当或时， 成立，则是“局部奇函数”；

(2)由题意换元令结合对勾函数的性质可得

(3)由定义得有解，结合函数的性质分类讨论：①若则

②若则

故实数的取值范围是

试题解析：

（1）由题意得：

当或时， 成立， 是“局部奇函数”；

（2）由题意得：

在有解，

令则设在单调递减，

在单调递增

(3)由定义得

即有解，

设方程等价于在时有解，

设对称轴

①若则即此时

②若则即此时

综上得： 即实数的取值范围是