Question

【题目】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC．

（1）证明：A1O⊥平面ABC；

（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）由AA1=A1C，且O为AC的中点，得A1O⊥AC，根据面面垂直的性质定理，即可证得A1O⊥平面ABC；

（2）以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面A1BC1的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点，

∴A1O⊥AC，

又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交线为AC，又A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABC；

（2）如图，以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），

，

平面A1BC1的法向量为，

则有，

所以的一组解为，

设直线AB与平面A1BC1所成角为，

则

又∵，

所以直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值：．