Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+x2+ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x₁，x₂，若过两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，通过a的取值，求出函数的根，然后通过导函数的值的符号，推出函数的单调性．
（2）根据导函数的根，判断a的范围，进而解出直线l的方程，利用l与x轴的交点为（x₀，0），可解出a的值．

解答：解：（1）f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1．
①当a≥1时，f′（x）≥0，
且仅当a=1，x=-1时，f′（x）=0，
所以f（x）是R上的增函数；
②当a＜1时，f′（x）=0，有两个根，
x₁=-1-

1-a

，x₂=-1+

1-a

，
当x∈(-∞，-1-

1-a

)时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
当x∈(-1-

1-a

，-1+

1-a

)时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
当x∈(-1+

1-a

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
（2）由题意x₁，x₂，是方程f′（x）=0的两个根，
故有a＜1，x12=-2x1-a，x22=-2x2-a，
因此f(x1)=

1

3

x13+x12+ax1=

1

3

x1(-2x1-a) +x12+ax1
=

1

3

x12+

2

3

ax1
=

1

3

(-2x1-a)  +

2

3

ax1=

2

3

(a-1) x1-

1

3

a，
同理f(x2)=

2

3

(a-1)x2-

1

3

a．
因此直线l的方程为：y=

2

3

(a-1)x -

1

3

a．
设l与x轴的交点为（x₀，0）得x₀=

a

2(a-1)

，
f(x0)=

1

3

[

a

2(a-1)

]3+[

a

2(a-1)

]2+a

a

2(a-1)

=

a2

24(a-1)3

(12a2-17a+6)，
由题设知，点（x₀，0）在曲线y=f（x）上，故f（x₀）=0，
解得a=0，或a=

2

3

或a=

3

4

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论，函数与方程的思想，考查计算能力．