Question

【题目】如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴的交点除外），直线交椭圆于另一个点.

（1）当直线经过椭圆的右焦点时，求的面积；

（2）①记直线的斜率分别为，求证：为定值；

②求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）①见解析②

【解析】

试题（1）先联立直线的方程为与椭圆方程的方程组，求出交点坐标，进而求出点到直线的距离公式求出上的高，运用三角形的面积公式求解；（2）先求出斜率的值，再计算其积进行推算；先运用直线与椭圆的位置关系计算出向量的的坐标形式，再运用向量的数量积公式进行推证：

解：（1）由题意，焦点，

当直线过椭圆的右焦点时，则直线的方程为，即，

联立，解得或(舍），即.

连，则直线，即 ，

而，.

故.

（2）解:法一：①设，且，则直线的斜率为，

则直线的方程为，

联立化简得，

解得，

所以，，

所以为定值.

②由①知，，，

所以，

令

故，

因为在上单调递增，

所以，即的取值范围为.

解法二：①设点，则直线的方程为，

令，得.

所以，

所以(定值）.

②由①知，，，

所以，

.

令，则，

因为在上单调递减,

所以，即的取值范围为.