Question

【题目】已知数列{an]的前n项和记为Sn ， 且满足Sn=2an﹣n，n∈N* （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明： +… （n∈N*）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵Sn=2an﹣n（n∈N+）， ∴Sn﹣1=2an﹣1﹣n+1=0（n≥2），
两式相减得：an=2an﹣1+1，
变形可得：an+1=2（an﹣1+1），
又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，
∴数列{an+1}是首项为2、公比为2的等比数列，
∴an+1=22n﹣1=2n ， an=2n﹣1．
（Ⅱ）由 ，（k=1，2，…n），
∴ = ，
由 = ﹣ ，（k=1，2，…n），
得 ﹣ = ，
综上， +… （n∈N*）．
【解析】（Ⅰ）通过Sn=2an﹣n（n∈N+）与Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）（n≥2）作差、变形可知an+1=2（an﹣1+1），进而计算即得结论．（Ⅱ）利用 ，（k=1，2，…n）， = ﹣ （k=1，2，…n），可证明， +… （n∈N*）．