【题目】对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1(A)：n，a1－1，a2－1，…，an－1.对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(B)．又定义S(B)＝2(b1＋2b2＋…＋mbm)＋＋＋…＋.设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak＋1＝T2(T1(Ak))(k＝0,1,2，…)．

(1)如果数列A0为2,6,4,8，写出数列A1，A2；

(2)对于每项均是正整数的有穷数列A，证明：S(T1(A))＝S(A)；

(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak＋1)＝S(Ak)．

参考答案：

【答案】（1）A1：7,5,4,3,1；A2：6,5,4,3,2.（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由A0：2,6,4,8，求得T1(A0)，再通过求解。（2）设有穷数列A,求得T1(A)，再求得S(T1(A))，两者作差比较。（3）设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，…，，在存在1≤i＜j≤n，使得时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，,在存在1≤m＜n，使得am＋1＝am＋2＝an＝0条件下，若记数列a1，a2，…为C，

Ak＋1＝T2(T1(Ak)), S(Ak＋1)≤S(T1(Ak)),由S(T1(Ak))＝S(Ak)，得到S(Ak＋1)≤S(Ak)，S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S(Ak)＝S(Ak＋1)＝S(Ak＋2)＝0.

试题解析： (1)　A0：2,6,4,8；T1(A0)：4,1,5,3,7，A1：7,5,4,3,1；T1(A1)：5,6,4,3,2,0，

∴A2：6,5,4,3,2.

(2)证明　设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，…，

则T1(A)为n，a1－1，a2－1，…，－1，

从而S(T1(A))＝2[n＋2(a1－1)＋3(a2－1)＋…＋(n＋1)(－1)]＋n2＋(a1－1)2＋(a2－1)2＋…＋(－1)2.

又S(A)＝2(a1＋2a2＋…＋nan)＋＋＋…＋，

所以S(T1(A))－S(A)＝2[n－2－3－…－(n＋1)]＋2(a1＋a2＋…＋an)＋n2－2(a1＋a2＋…＋)

＋n＝－n(n＋1)＋n2＋n＝0，

故S(T1(A))＝S(A)．

(3)证明:设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，…，

当存在1≤i＜j≤n，使得时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，

则S(B)－S(A)＝

当存在1≤m＜n，使得am＋1＝am＋2＝an＝0时，若记数列a1，a2，…为C，

则S(C)＝S(A)．

所以S(T2(A))≤S(A)．

从而对于任意给定的数列A0，由Ak＋1＝T2(T1(Ak))(k＝0,1,2)，

可知S(Ak＋1)≤S(T1(Ak))．

又由(2)可知S(T1(Ak))＝S(Ak)，

所以S(Ak＋1)≤S(Ak)．

即对于k∈N，要么有S(Ak＋1)＝S(Ak)，

要么有S(Ak＋1)≤S(Ak)－1.

因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，

必有S(Ak)＝S(Ak＋1)＝S(Ak＋2)＝0.

即存在正整数K，当k≥K时，S(Ak＋1)＝S(A)．

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