Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC= ，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：相切，连接OC，

∵C为 的中点，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠1=∠ACO，

∴∠2=∠ACO，

∴AD∥OC，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∴直线CD与⊙O相切；

（2）

解：方法1：连接CE，

∵AD=2，AC= ，

∵∠ADC=90°，

∴CD= = ，

∵CD是⊙O的切线，

∴CD2=ADDE，

∴DE=1，

∴CE= = ，

∵C为 的中点，

∴BC=CE= ，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB= =3．

方法2：∵∠DCA=∠B，

易得△ADC∽△ACB，

∴ = ，

∴AB=3．

【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．（1）连接OC，由C为 的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD= = ，根据切割线定理得到CD2=ADDE，根据勾股定理得到CE= = ，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．
【考点精析】通过灵活运用直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点即可以解答此题．