Question

【题目】以为直径的圆上每一点都染上了红、黄、蓝三色之一，已知、染上了红色，联结圆上的点组成三角形，给出4个结论：

①必定存在一个直角三角形，三个顶点同为红色；

②必定存在一个直角三角形，三个顶点同色；

③必定存在一个直角三角形，三个顶点全不同色；

④必定存在一个直角三角形，或都三个顶点同色，或者三个顶点全不同色。

则真命题的个数是（ ）个。

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】A

【解析】

易知，联结圆上的点组成直角三角形，当且仅当斜边为直径，下面讨论直径.若除点、外，圆上再无红点，则结论①不成立；若除点、外，圆上再无红点，且其他所有直径的两端点都黄、蓝异色，则结论②不成立；若圆上所有直径的两端点都同色，则结论③不成立.下面证明：结论④成立.若除点、外，圆上还有红点，则存在三个顶点同色的直角三角形（同红色），命题成立，若除点、外，圆上再无红点（即圆上其余点染上了黄、蓝两色之一），则作直径，当两端异色时，存在三个顶点全不同色的直角三角形，命题成立；当两端同色时，不妨记为同黄色，若此时圆上还有第三个黄点，则存在三个顶点同黄色的直角三角形，命题成立.若此时圆上没有第三个黄点，即除点、、、外圆上全为蓝点，则存在三个顶点同蓝色的直角三角形，命题成立。综上得结论④成立。