Question

【题目】已知是直线上任意一点，过作，线段的垂直平分线交于点.

(Ⅰ)求点的轨迹对应的方程；

(Ⅱ)过点的直线与点的轨迹相交于两点，（ 点在轴上方），点关于轴的对称点为，且，求的外接圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查轨迹方程的求法，根据题画出图形辅助分析，观察图形可知，恒有，根据定义到定点与定直线距离相等的点轨迹为抛物线，因此点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，可以求出相应的方程为；（Ⅱ）本问重点考查直线与抛物线问题，分析题意可知，过点的直线斜率显然存在且不为0，所以可设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，消去未知数，得到关于的一元二次方程，需要考虑到的条件有判别式，韦达定理，然后根据，转化为，通过坐标表示，于是可以求出的值，这样就得到了直线的方程，接下来需要确定的外接圆圆心和半径，线段， 垂直平分线的交点即为圆心，在根据弦长公式确定半径即可，于是得到外接圆方程.

试题解析：(Ⅰ)连接，由于是线段垂直平分线上的点，则，即到点的距离和到直线的距离相等、所以点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线.

其中

所以点的轨迹对应的方程为.

(Ⅱ)设， ， ， 的方程为.

将代入并整理得

，由，

从而， ，

， .

因为，

故，解得，

所以的方程为，

设中点为,

则， ，

中垂线方程.

令得，圆心坐标，到的距离为.

，

所以圆的半径

的外接圆的方程.