Question

【题目】设函数f（x）= ， 若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2at2+at，则正实数a的最小值是（　　）
A.1
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）= ，
∴当x≤0时，
f（f（x））==x；
当0＜x≤1时，log2x≤0；
故f（f（x））==x；
当x＞1时，
f（f（x））=log2（log2x）；
故f（f（x））=；
分析函数在各段上的取值范围可知，
若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2at2+at，
则f（f（x））＞1，
即2at2+at＞1，
又∵t∈（1，+∞），a＞0；
∴2a+a≥1即可，
即a≥；
故选：C．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．