Question

【题目】如图，四边形是梯形.四边形是矩形.且平面平面，，，，是线段上的动点.

（Ⅰ）试确定点的位置，使平面，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）当点是中点时，连结,交于点，连结，根据中位线可知，即平面；（Ⅱ）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，求.

试题解析：（Ⅰ）当是线段的中点时，平面，

证明如下：

连接，交于，连接，

由于、分别是、的中点，所以，

由于平面，又不包含于平面，

∴平面.

（Ⅱ）方法一：过点作平面与平面的交线，

∵平面，∴，

过点作于，

∵平面平面，，

∴平面，∴平面平面，

∴平面，

过作于，连接，则直线平面，∴，

设，则，，，则，

∴，

∴所求二面角的余弦值为.

方法二：

∵平面平面，，

∴平面，可知、、两两垂直，

分别以、、的方向为，，轴，

建立空间直角坐标系.

设，则，，，，

设平面的法向量，

则，∴，

令，得平面的一个法向量，

取平面的法向量，

由，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.