Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面，，且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：作的中点，因为，且为的中点可得，又侧面底面，由此可证底面,以为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）写出相应点的坐标，求出与，由可证；（Ⅱ）求出平面的法向量与平面的法向量，由向量知识求即可.

试题解析：（Ⅰ）作的中点，因为，且为的中点，

∴，

又侧面，其交线为，且，

∴ （2分）

以为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系：

由已知得：，，，，，

，则有：，，，

∴ （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得可设平面的法向量为，同理平面的法向量为，

则满足： ，

解得：，，

则.

∴二面角的余弦值为. （12分）