Question

【题目】设点，直线，点在直线上移动， 是线段与轴的交点, .

(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）直线与轴相交于点,过的直线交轨迹于两点，

试探究点与以为直径的圆的位置关系,并加以说明．

Answer 1

【答案】（1）（2）点在以为直径的圆上或外

【解析】试题分析：（1）由垂直平分线性质将条件转化为．再根据抛物线定义可得动点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线，最后根据性质求抛物线标准方程（2）直径AB中点即圆心到直线的距离等于A、B两点到直线的距离和的一半，而由抛物线定义有A、B两点到直线的距离和为,因此以为直径的圆与直线相切，进而可判断点与以为直径的圆的位置关系

试题解析：解：(Ⅰ)依题意知： 是线段的垂直平分线．∴是点到直线的距离．∵点在线段的垂直平分线，∴．

故动点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线， 其方程为： ．

（Ⅱ）法一：设A、B两点到直线的距离分别为，

直径AB中点N到直线的距离分别为，

由抛物线定义知, ∴

∴以为直径的圆与直线相切

法二：

（1）当AB垂直轴时，以为直径的圆点为切点，

∴点与以为直径的圆上

（2）当直线与轴不垂直时， ∴点与以为直径的圆外

①当直线AB垂直于轴时，易知以为直径的圆方程为，

点满足方程，∴点与以为直径的圆上

②当直线与轴不垂直时，

设直线AB方程为 与抛物线交点， ，

联立 ，

显然且， 圆直径

AB中点N的坐标（，

，∴点与以为直径的圆外