Question

【题目】已知椭圆E： ，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B，

(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；

(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：(1)先利用直线方程求出椭圆的右顶点，再由离心率进行求解；(2)将问题转化为判定直线和椭圆有公共点，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式进行求解.

试题解析：(1)由椭圆的离心率为，

得a＝c，∵直线l与x轴交于A点，

∴A(2,0)，∴a＝2，c＝，b＝，

∴椭圆方程为＋＝1.

(2)由e＝，可设椭圆E的方程为＋＝1，

联立

得6y2－8y＋4－a2＝0，

若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．

设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，

∴即

∴≤a2≤4，

故a的取值范围是≤a≤2.