Question

【题目】已知椭圆C： 的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点相同，且椭圆C上一点与椭圆C的左，右焦点F1，F2构成的三角形的周长为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G满足： ，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：(1)利用与抛物线有公共焦点、椭圆的定义及几何要素间的等量关系进行求解；(2)联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、三角形的重心性质和平面向量的数量积运算进行求解.

试题解析：(1)依题意得

即

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得方程组

消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

则

设△AOB的重心为G(x，y)，

由·＝－，

可得x2＋y2＝.②

由重心公式可得G(，)，

代入②式，整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③

将①式代入③式并整理，

得m2＝，

代入(*)得k≠0，

则m2＝＝1＋＝1＋.

∵k≠0，∴t＝>0，∴t2＋4t>0，

∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．