Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ a（x﹣1）（a∈R）．
（1）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立． （ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）试比较ea﹣2与ae﹣2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为a=﹣2时，f（x）=inx+x﹣1， ．

所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．

所以a=﹣2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2．

（2）解：（ i）由f（x）=lnx﹣ a（x﹣1），

所以 ，

①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，

∴a≤0不合题意．

②当a≥2即 时， 在（1，+∞）上恒成立，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，

∴a≥2满足题意．

③若0＜a＜2即 时，由f′（x）＞0，可得 ，由f′（x）＜0，可得x ，

∴f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，

∴ ，

∴0＜a＜2不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．

（ ii）a≥2时，“比较ea﹣2与ae﹣2的大小”等价于“比较a﹣2与（e﹣2lna）的大小”

设g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．

则 ．

∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．

当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以ex﹣2＜xe﹣2．

当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴ex﹣2＞xe﹣2．

综上所述，当a∈[2，e）时，ea﹣2＜ae﹣2；

当a=e时，ea﹣2=ae﹣2；

当a∈（e，+∞）时，ea﹣2＞ae﹣2

【解析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解．