Question

【题目】直三棱柱中，，分别是 的中点，，为棱上的点．

（1）证明：；

（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）略 （2）为的中点

【解析】试题分析：对于问题（1）可以先证明两两垂直，然后再建立空间直角坐标系用向量法进行证明；对于问题（2）可在（1）中建立的坐标系下，分别求出平面与平面的法向量，再根据二面角的余弦公式，即可确定是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

试题解析：（1）证明：因为，所以，

又因为，所以面，

又因为面，

所以，

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有

设且，即，则

，所以，

因为，所以，所以

（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为

理由如下：

由题可知面的法向量

设面的法向量为，则

因为，

所以，即，

令，则

因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

所以，即，

解得或（舍），所以当为中点时满足要求