Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=0，nan+1=Sn+n（n+1）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足an+log3n=log3bn ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）n≥2时，nan+1=Sn+n（n+1），（n﹣1）an=Sn﹣1+n（n﹣1）．
相减可得：nan+1﹣（n﹣1）an=an+2n．
∴an+1﹣an=2．n=1时，a2=a1+2，∴a2﹣a1=2，
∴数列{an}为等差数列，an=0+2（n﹣1）=2n﹣2．
（II）∵数列{bn}满足an+log3n=log3bn ，
∴bn=32n﹣2×n
∴数列{bn}的前n项和Tn=1+2×9+3×92+…+n×9n﹣1 ，
∴9Tn=9+2×92+…+（n﹣1）×9n﹣1+n×9n ，
∴﹣8Tn=1+9+92+…+9n﹣1﹣n×9n= ﹣n×9n ，
可得：Tn=
【解析】（I）n≥2时，利用递推关系可得an+1﹣an=2．又a2﹣a1=2，数列{an}为等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．（II）数列{bn}满足an+log3n=log3bn ， 可得bn=32n﹣2×n，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．