Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是，当时，的单调递增区间是，当时, 的单调递增区间是和，单调递减区间是；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据导数几何意义得列等量关系，解得；（2）先研究函数零点：；当时，一个零点；当时，两个零点，此时再比较两个零点大小，需分三种情况讨论：最后列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间；（3）任意存在性问题，一般先转化为对应函数最值问题：，易确定的最大值为，此时可继续分类讨论求的最大值，也可以再利用变量分离转化为对应函数最值：的最大值.

试题解析：（1）由题意知，，即，解得.

（2）.①当时，，在区间上，；在区间上，，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，在区间和上，；在区间上，，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时,,在区间和上，；在区间上，，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（3）由题意知，在上有,由已知得，，由（2）可知，①当时, 在上单调递增，故，所以，解得,故.②当时, 在上单调递增，在上单调递减，故,由可知，即，

综上所述，.