Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），离心率e= ，已知点P（0， ）到椭圆C的右焦点F的距离是 ．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得：e= = ， = ，又a2+b2=c2 ． 联立解得：c2=12，a=4，b=2．
∴椭圆C的标准方程为： =1．
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=kx+ ，（k≠0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段AB的中点M（x3 ， y3），线段AB的中垂线方程为：y﹣y3=﹣ （x﹣x3）．
联立 ，化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，
△＞0，∴x1+x2=﹣ ，
∴x3= =﹣ ．
y3=kx3+ = ．
∴线段AB的中垂线方程为：y﹣ =﹣ （x+ ）．
令y=0，可得x0= = ，
k＞0时，0＞x0≥ ．
k＜0时，0＜x0≤ ．
k=0时，x0=0也满足条件．
综上可得：点Q的横坐标x0的取值范围是
【解析】（Ⅰ）由题意可得：e= = ， = ，又a2+b2=c2 ． 联立解出即可得出．（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=kx+ ，（k≠0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段AB的中点M（x3 ， y3），直线AB的方程与题意方程联立化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M的坐标，可得线段AB的中垂线方程，令y=0，可得x0 ， 通过对k分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．