Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)若存在使得成立,求实数的取值范围；

(Ⅱ)求证：当时,在(1)的条件下, 成立．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)见解析．

【解析】试题分析: (1)构造函数 ,求出 在 的最小值,从而得到实数的取值范围；（2）设 ，求出 的单调性，得出结论.

(Ⅰ)原题即为存在,使得,

∴,

令,则.

令,解得.

∵当时, ,∴为减函数,

当时, ，∴为增函数,

∴,∴.

∴的取值范围为.

(Ⅱ)原不等式可化为,

令,则,

,

∵,由(Ⅰ)可知, ,

则,

∴在上单调递增,

∴当时, .

∴成立.

即当时, 成立.

点睛: 本题主要考查了导数在求函数的单调性，函数的最值上的应用，属于中档题.考查学生灵活运用导数工具去分析、解决问题的能力,综合考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力以及等价转换的解题思想.