Question

【题目】已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.

(1) 求{an}的通项公式；

(2) 求证：＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立．

Answer 1

【答案】(1) an＝5×(－1)n－2或an＝5×3n－2，n∈N*.(2) 见解析.

【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求,进而可求通项公式；（2）结合（1）可知 是等比数列,结合等比数列的求和公式可求 ,利用放缩法可得结果.

试题解析：(1) 由a1a2a3＝125，得a＝125，即a2＝5.

又|a2－a3|＝10，即a2|q－1|＝10得q＝－1或3.

所以an＝5×(－1)n－2或an＝5×3n－2，n∈N*.

(2) 证明：若q＝－1，则＋＋…＋＝－或0，所以＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立；

若q＝3，则＋＋…＋＝＜＜1，所以＋＋…＋＜1对任意正整数m也都成立．

综上，＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立．