Question

【题目】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．

（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式；（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求，要证数列是等比数列即可

试题解析：（I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d

依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5

所以{bn}中的依次为7﹣d，10，18+d

依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）

故{bn}的第3项为5，公比为2

由b3=b122，即5=4b1，解得

所以{bn}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为 ……………6分

（II）数列{bn}的前和

即，所以，

因此{}是以为首项，公比为2的等比数列 …………………12分