Question

【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵与刍童的组合体中,．台体体积公式：，其中分别为台体上、下底面面积，为台体高.

（Ⅰ）证明：直线 平面；

（Ⅱ）若,，，三棱锥的体积，求该组合体的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】【试题分析】（Ⅰ）运用线面垂直的判定定理进行推证; （Ⅱ）先建立方程求出三棱锥的高，再运用简单几何体的体积公式进行分析求解。

（Ⅰ）证明：由题可知是底面为直角三角形的直棱柱，

平面 , ……………………………………………2分

又，,平面，

, …………………………………………………………4分

又，四边形为正方形，，

又,平面，平面. …………………6分

（Ⅱ）设刍童的高为，则三棱锥体积

，所以, ……………………………………………9分

故该组合体的体积为

.……………………12分

（注：也可将台体补形为锥体后进行计算）