Question

【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是、，并且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与圆：相切，并与椭圆交于不同的两点、.当，且满足时，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设出椭圆方程，根据题意列方程组，求出待定系数的值；（2）可设直线方程为，根据其与圆相切可得，联立方程组可得，根据韦达定理求出和，，所以整理可得，根据向量数量积的定义可得，换元设，则，最后再根据均值不等式求出面积的取值范围.

试题解析：（1）设椭圆方程为，

由条件有解得，.

∴椭圆的方程为：.

（2）依题结合图形知直线的斜率不为零，

∵直线即与圆：相切，

∴得.

设，，

由

消去整理得，

得.

又，点到直线的距离，

∴

，

.

,令，则，

∴，

∴，∴的取值范围为：.