Question

【题目】已知函数φ（x）= ，a＞0
（1）若函数f（x）=lnx+φ（x），在（1，2）上只有一个极值点，求a的取值范围；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1 ， x2∈（0，2]，且x1≠x2 ， 都有 ＜﹣1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=lnx+φ（x）=lnx+ ，（x＞0，a＞0），

f′（x）= ﹣ ，

当f′（1）f′（2）＜0时，函数f（x）在区间（1，2）上只有一个极值点，

即为（1﹣ a）（ ﹣ a）＜0，

解得：4＜a＜ ；

（2）解：∵ ＜﹣1，

∴有 +1＜0，

∴ ＜0，

设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．

当1≤x≤2时，h（x）=lnx+ +x，h′（x）= ﹣ +1，

令h′（x）≤0，得：a≥ +（x+1）2=x2+3x+ +3对x∈[1，2]恒成立，

设m（x）=x2+3x+ +3，则m′（x）=2x+3﹣ ，

∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3﹣ ＞0，

∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为 ，

∴a≥ ；

当0＜x＜1时，h（x）=﹣lnx+ +x，h′（x）=﹣ ﹣ +1，

令h′（x）≤0，得：a≥﹣ +（x+1）2=x2+x﹣ ﹣1，

设t（x）=x2+x﹣ ﹣1，则t′（x）=2x+1+ ＞0，

∴t（x）在（0，1）上是增函数，

∴t（x）＜t（1）=0，

∴a≥0

【解析】（1）求出函数的导数，得到f′（1）f′（2）＜0，解出即可；（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．