Question

【题目】已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；

（3）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为，结合直线系方程，即可得到所求定点．

（1）设点的坐标为

由可得，，

整理可得

所以曲线的轨迹方程为.

（2）依题意，，且，则点到边的距离为

即点到直线的距离，解得

所以直线的斜率为.

（3）依题意，，则都在以为直径的圆上

是直线上的动点，设

则圆的圆心为，且经过坐标原点

即圆的方程为 ，

又因为在曲线上

由，可得

即直线的方程为

由且可得，解得

所以直线是过定点.