Question

【题目】已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，离心率为且过点，过定点的动直线与该椭圆相交于、两点.

（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（2）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）椭圆的离心率公式，及的关系，求得，得到椭圆的方程；设出直线的方程，将直线方程代入椭圆，用舍而不求和韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知中点的横坐标，即可求出直线的方程；（2）假设存在点，使为常数，分别分当与轴不垂直时以及当直线与轴垂直时，求出点的坐标，最后综合两种情况得出结论．

试题解析：（1）易求椭圆的方程为，

直线斜率不存在时显然不成立，设直线，

将代入椭圆的方程，

消去整理得，

设，则，

因为线段的中点的横坐标为，解得，

所以直线的方程为．

（2）假设在轴上存在点，使得为常数，

①当直线与轴不垂直时，由（1）知，

所以

，

因为是与无关的常数，从而有，

此时

②当直线与轴垂直时，此时结论成立，

综上可知，在轴上存在定点，使，为常数