Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（为参数）．

（1）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的极坐标；

（2）设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先设出点的坐标，然后根据直线与圆相切求得直线的斜率，由此得出点的直角坐标，从而求得其极坐标；（2）首先设出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式求得当直线与圆相切时的斜率，再设点，求出，由此求得直线的斜率的取值范围．

试题解析：（1）设点坐标为 ，

由已知得是以为圆心，为半径的上半圆．

因为在点处的切线与垂直，所以直线与直线的斜率相同，，

故点的直角坐标为，极坐标为；

（2）设直线与半圆相切时，

∴，∴（舍去），

设点，则，

故直线的斜率的取值范围为．