Question

【题目】已知数列的前项和为，其中为常数．

（1）证明： ；

（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（I）对于含递推式的处理，往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式．结合结论，该题需要转换为项的递推式．故由得．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由， ， ，列方程得，从而求出．得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列．

试题解析：（I）由题设， ， ．两式相减得， ．

由于，所以．

（II）由题设， ， ，可得，由（I）知， ．令，解得．

故，由此可得， 是首项为1，公差为4的等差数列， ；

是首项为3，公差为4的等差数列， ．

所以， ．

因此存在，使得为等差数列．