Question

【题目】△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
则sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
将c=2a代入得：b2=2a2 ， 即b= a，
∴由余弦定理得：cosB= = =
【解析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．
【考点精析】关于本题考查的等差数列的通项公式（及其变式）和等差关系的确定，需要了解通项公式：或；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列才能得出正确答案．