Question

【题目】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且到原点的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由点到直线距离公式求出的值，在代入可求得，进而得抛物线的方程；（2）由（1）知点的坐标，可得直线的方程为，与抛物线方程联立可求出，进而可得直线的方程及直线的方程，只需证明到直线、距离相等即可.

试题解析：（1）由题意可得：，

解得，

所以抛物线的方程为.

（2）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为.

因为点在抛物线上，

所以，

由抛物线的对称性，不妨设.

由，可得直线的方程为.

由，得，

解得或，从而.

又，

故直线的方程为，

从而.

又直线的方程为，

所以点到直线的距离为.

这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.