Question

【题目】在如图所示的多面体中，底面四边形是菱形，，，相交于，，在平面上的射影恰好是线段的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）证明线面垂直先证明线线垂直，EH⊥BD，AC⊥BD，∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF；（2）建立空间坐标系，求两个平面的法向量，根据向量夹角的求法得到面面角.

解析：

（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD

∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD

又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内

∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H﹣xyz

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，

即∠EAH=45°，又菱形ABCD的边长为4，则

各点坐标分别为，

E（0，0，）

易知为平面ABCD的一个法向量，记=，=，=

∵EF∥AC，∴=

设平面DEF的一个法向量为（注意：此处可以用替代）

即 =，

令，则，∴

∴

平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为．