Question

【题目】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA= ，AB=1．AD=2．∠BAD=120°，E，F，G，H分别是BC，PB，PC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：PH∥平面GED；
（Ⅱ）过点F作平面α，使ED∥平面α，当平面α⊥平面EDG时，设PA与平面α交于点Q，求PQ的长．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接HC，交ED于点N，连接GN，
∵DHEC是平行四边形，∴N是线段HC的中点，又G是PC的中点，
∴GN∥PH，
又∵GN平面GED，PH平面GED，
∴PH∥平面GED．
（Ⅱ） 方法1：连接AE，∵∠BAD=120°，∴△ABE是等边三角形，
设BE的中点为M，以AM、AD、AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则B（ ， ，0），C（ ， ，0），D（0，2，0），P（0，0， ），
则E（ ， ，0），F（ ， ， ），G（ ， ， ）．
设Q（0，0，t）， ， ．
设 是平面GED的一个法向量，
则 ，得 ，
令y1=1∴ ．
设 是平面α的一个法向量，
则 ，得 ，令y2=1，得 ，
当平面GED⊥平面α时， ，
得 ，则PQ的长为 ．
方法2：连接BH，则BH∥ED，又∵PB∥GE，∴平面PBH∥平面GED，
设BH与AE交于点K，PK的中点为M，
∵F是PB的中点，∴FM∥BK，
∵ABEH是菱形，∴AE⊥BK，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BK，∴BK⊥平面PAK．
∴FM⊥平面PAK，
过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为α，
∵ED∥BH∥FM，∴ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，∴平面α⊥平面EDG．
得平面α满足条件．
∵ ， ，∴ ，
由 ，
得 ．



【解析】（I）连接HC，交ED于点N，连接GN．由平行四边形的性质和三角形的中位线定理即可得到GN∥PH，再利用线面平行的判定定理即可证明；（II）方法一：通过建立空间直角坐标系，利用平面GED⊥平面α两个平面的法向量 ，求得Q的坐标，进而取得|PQ|的长．方法二：连接BH，则BH∥ED，及PB∥GE，可得平面PBH∥平面GED；利用三角形懂得中位线定理可得FM∥BK；利用菱形的性质可得AE⊥BK，再利用线面垂直的判定和性质定理可得BK⊥平面PAK，FM⊥平面PAK；过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为α，可得ED∥BH∥FM，ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，可得平面α⊥平面EDG．得平面α满足条件．利用已知可得PA、AK、PK，再利用 ，即可得到PQ．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．