Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由题意知BC⊥CC1 ， BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1 ， 又DC1平面ACC1A1 ，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1平面BDC1 ，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1 ， AC=1，由题意得V1= × ×1×1= ，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
【解析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1 ， AC=1，易求V1= × ×1×1= ，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．
【考点精析】本题主要考查了棱柱的结构特征和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．