Question

【题目】已知函数将的图象向右平移两个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围；

（3）若函数与的图象关于直线对称，设，已知对任意的恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由图象的平移可得g（x）的解析式；

（Ⅱ）设，问题转化为在t∈[1，2]上有且仅有一个实根，通过分类讨论的思想得到结果；

（Ⅲ）设，t∈（2，+∞）．问题转化为t2﹣4at+4a＞0对任意t∈（2，+∞）恒成立，变量分离后构造函数，可得其最小值，进而可得答案．

试题解析：

（1）

（2）设,则，原方程可化为

于是只须在上有且仅有一个实根，

法1：设，对称轴t=,则 ① ， 或 ②

由①得 ，即，

由②得 无解, ，则。

法2：由，得， ， ，

设，则， ，记，

则在上是单调函数，因为故要使题设成立，

只须，即，

从而有

（3）设的图像上一点，点关于的对称点为，

由点在的图像上，所以，

于是 即. .

由，化简得，设,即恒成立.

注意到t﹣1＞1，分离参数得对任意t∈（2，+∞）恒成立．

设, t∈（2，+∞）,即

而．

可证m（t）在（2，+∞）上单调递增．

∴m（t）＞m（2）=4，

∴，即a∈（﹣∞，1]．