Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题可知 ，则该直线方程为： ，

代入y2=2px（p＞0）得： ，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=3p

∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8，即3p+p=8，解得p=2

∴抛物线的方程为：y2=4x．

（2）解：设l方程为y=x+b，代入y2=4x，得x2+（2b﹣4）x+b2=0，

∵l为抛物线C的切线，∴△=0，

解得b=1，∴l：y=x+1

由（1）可知：x1+x2=6，x1x2=1

设P（m，m+1），则

∴

=

∵x1+x2=6，x1x2=1， ，y1y2=﹣4， ，

∴ ，

∴

=2[m2﹣4m﹣3]=2[（m﹣2）2﹣7]≥﹣14

当且仅当m=2时，即点P的坐标为（2，3）时， 的最小值为﹣14．

【解析】（1）过点F且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得x1+x2+p=8，即可求抛物线C的方程；（2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x，利用直线l为抛物线C的切线，求出b，再利用向量的数量积公式求 ，利用配方法可求最小值．