Question

【题目】如图，DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分别是AC、BC中点．
（1）求证：平面DFG∥平面ABE；
（2）若AC=2BC=2CD=4，求二面角E﹣AB﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵F、G分别是AC、BC中点．

∴FG∥AB，

∵FG平面ABE，AB平面ABE，

∴FG∥平面ABE，

∵DE∥BC，BC=2DE，G是BC中点，

∴DE BG，∴四边形DEBG是平行四边形，

∴DG∥BE，

∵DG平面ABE，BE平面ABE，

∴DG∥平面ABE，

∵DG∩FG=G，DG，FG平面DFG，

AB∩BE=B，AB，BE平面ABE，

∴平面DFG∥平面ABE

（2）解：∵DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分别是AC、BC中点．

∴以C为原点，CA为x轴，以CB为y轴，以CD为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AC=2BC=2CD=4，

∴A（4，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），E（0，1，2），

=（﹣4，1，2）， =（﹣4，2，0）， =（﹣4，0，2），

设平面ABE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，0，2），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

则cos＜ ＞= ．

∴二面角E﹣AB﹣C的余弦值为cosα= ，

则sinα= ，tanα= = ．

∴二面角E﹣AB﹣C的正切值为 ．

【解析】（1）推导出FG∥AB，从而FG∥平面ABE，从而出四边形DEBG是平行四边形，从而DG∥BE，进而DG∥平面ABE，由此能证明平面DFG∥平面ABE．（2）以C为原点，CA为x轴，以CB为y轴，以CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣C的正切值．