Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正数，前n和为Sn ， 且Sn= （n∈N*）．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）设bn=an3n ， 求数列{bn}的前n项的和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：当n≥2时， ．…①

…②

①﹣②得： ，

整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=（an+an﹣1）．

∵数列{an}的各项均为正数，即an+an﹣1≠0，

∴an﹣an﹣1=1（n≥2）．

当n=1时， ，得 ，

由a1＞0，得a1=2，…（4分）

∴数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列．

（2）

解：由（1）得an=2+（n﹣1）×1=n+1

∴

…（1）

…+n×3n+（n+1）×3n+1…（2）

（1）﹣（2）得

∴

∴

【解析】（1）当当n≥2时，求得Sn及Sn﹣1 ， 做差求得： 整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=（an+an﹣1）由an+an﹣1≠0，即可得到an﹣an﹣1=1，当n=1时，求得a1=2即可得数列{an}是等差数列；（2）由（1）求得数列{an}的通项公式，数列{bn}的前n项和Tn ， 采用乘以公比“错位相减法”，即可求得Tn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：或，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．