Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2 ）an+sin2 ，则该数列的前10项和为 ．

Answer 1

【答案】77
【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2 ）a1+sin2 =a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2 ]a2k﹣1+sin2 =a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．
所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2 ）a2k+sin2 =2a2k ．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k ．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
所以答案是：77
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．