Question

【题目】已知数列中，, 且.

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）令, 数列的前项和为, 试比较与的大小；

（3）令, 数列的前项和为, 求证: 对任意, 都有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时,，当时,；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）令，求得，同理令，求得.对两边除以，得到，利用累加法求得，所以；（2）化简，则，.记函数，利用可得当时,；当时,；（3）化简，故，利用放缩法，利用裂项求和法证得.

试题解析：

（1）当时，, 当时，,因为,所以,当时，由累加法得, 因为,所以时，有，即，又时，，故.

（2）时,,则.

记函数，所以,

则,所以.由于

,此时，,此时,

,此时,由于,故时，，此时.综上所述，当时,;当时,.

（3）证明: 对于,有,

当时,.所以当时,

.且.故对得证.