Question

【题目】若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．

(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；

(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；

(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）

Answer 1

【答案】（I）见解析;(II) 见解析;（III）（注：答案不唯一）

【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用定义判断函数 与是否是“T函数” 即可；

（Ⅱ）设 所以，对于 一定有 即可证明;

（Ⅲ）根据 且使集合 中元素的个数最少，以及新定义即可确定．

试题解析：（I）对于函数，当时，都有， ，

又，所以.

所以是“T函数”.

对于函数，当时， ， ，

因为，所以.

所以不是“T函数”.

(II)设， ， .

则

所以，对于， ，一定有.

因为是“T函数”， ，所以.

若，则，不符合题意.

若，则，不符合题意.

所以.

（III）（注：答案不唯一）